مُـعامـل التغيـــــــر

موقع مفيد : بوابة الرياضيات

تمهيد:

يقال لمجسمين أنهما متشابهان , أذا أمكن تحويل أحدهما إلى الاخر باستخدام التحويلات الهندسية . وعندما يتشابه المجسمان , فإن النسبة بين أبعادهما المتناظرة تكون ثابتة, وتسمى معامل التغير , وسيتم التركيز في هذا البند على المد ( تصغيراً أو تكبيراً ) لأحد أبعاد المجسم .

أولا ً :الكرة

يصنع معمل الكعك على شكل كرات ,قطر كل منها 2.1 سم . أراد مسؤل الانتاج تصغير الكعكة الى الثلثين من أجل إعادة تسعيرها , ما حجم الكعكة ,

ومساحة سطحها بعد تعديل القطر ؟

يبين الجدول التالي كيف يؤثر معامل التغير في حجم الكرة و مساحة سطحها .

طول نصف القطر( سم ) حجم الكرة ( سم 3 ) مساحة سطح الكرة ( سم 2)

س 4 /3 ∏ س 3 4 ∏ س 2

أس 4 /3 ∏ أ 3 س 3 ∏ أ2 س 2

تلاحظ من الجدول أنه ُ إذا تم مد طول نصف قطر الكرة من (س) إلى أ س ( أ معامل التمدد ) فأن حجمها يتمدد (تصغيرا ً أو تكبيرا ً ) بضربه في أ3 .

فسر ماذا يحدث لمساحة سطح الكرة عند تمدد طول نصف قطرها إلى ( أ س ) .

مثــــــــــــال (1 ) :

قطعة جليد على شكل كرة حجمها 36000 سم 3 , تنصهر بمعدل 1200 سم 3 / ساعة , محاقظة على شكلها الكروي في أثناء الانصهار . فما حجمها عندما ينقص قطرها إلى 2/5 قيمته ُ عند بدء الانصهار ؟ وبعد كم ساعة تنصهر بالكامل ؟

الحــــــل :

بما أن القطر تقلص إلى 2/5 قيمته ُ فإن معامل التغير = 2/5

ومنه حجم كرة الجليد بعد التقلص = ( 2/5 ) 3 × الحجم قبل التقلص .

= ( 8/ 125) × 36000

= 23.4 سم 3

الزمن الذي تحتاجه قطعة الجليد لتنصهر بالكامل = 36000/ 1200 = 30 ساعة .

مثــــــــــــال (2 ) :

ينتج مصنع ألعاب , كرات , قطر كل منها 40 سم , تم تقليص القطر إلى 4/5 القطر السابق , كم يتوفر من المادة التي صُنعت منها الكرات ُ من كل كرة ؟

الحــــــل :

مساحة سطح الكرة قبل تقليص قطرها = 4 ∏ × ( 20)2 =1600 ∏ سم 2

مساحة سطح الكرة بعد تقليص قطرها =)( 4 /5 )×4∏ × ( 20)2 = 1024 ∏ سم 2

كمية المادة التي تتوفر نتيجة تقليص قطرها = 1600∏ -1024∏

= 576∏ سم2

تــــدريب ( 1 ) :

حل المسألة الواردة في بداية الدرس .

ثانيا ً : الاسطوانة

أراد أبو صلاح حفر بئر أمام منزله على شكل أسطوانة دائرية قائمة , قطرها 3 م , و ارتفاعها 2 م , فكم حجم التراب الذي تم استخراجه ُ من البئر ؟

أ) إذا زاد القطر إلى المثلين , فكم يصبح حجم التراب المستخرج من البئر ؟

ب) وبدلاً من زيادة القطر , إذا زاد العمق إلى المثلين , فكم يصبح حجم التراب المستخرج من البئر ؟

قارن بين الحالتين في كل من (ا) و ( ب) , وفي أيهما يتسع البئر لكمية أ البئر لكمية أكبر من الماء ؟

مثــــــــــــال (1 ) :

أسطوانة دائرية قائمة , نصف قطر قاعدتها 20 سم , وارتفاعها 10 سم , كم مساحتها الجانبية ؟ وكم حجمها ؟ و إذا تمدد نصف قطر الاسطوانة إلى النصف . فكم يصبح الحجم ؟ و كيف تتأثر مساحتها الجانبية ؟

الحــــــل :

حجم الاسطوانة = 3.14 × نق 2 ع

= 400×10 × 3.14 = 4000 سم3 .

المساحة الجانبية للأ ُسطوانة =2 ∏نق ع = 2∏× 20 × 10= 400∏سم 2 .